Le Second Degré

On se propose ici de montrer la marche à suivre afin de déterminer les racines d'une fonction du second degré \(f\) donnée. Les racines de la fonction \(f\) seront données par les solutions de l'équation $$f(x) \,\, = \,\, 0.$$

Dans ce qui précéde, on a énoncé de manière très directe quelles étaient les racines d'une fonction du second degré, sans vraiment préciser comment est-ce qu'il est possible de les obtenir. Vous pouvez directement passer aux exemples, mais pour les curieux qui souhaiteraient savoir comment il est possible de s'y prendre pour déterminer ces expressions, on va maintenant donner quelques détails supplémentaires.
Pour y voir plus claire, mais également pour pouvoir comprendre comment obtenir les racines d'un polynôme du second degré, on va donner un détail de calcul permettant de les dériver. Commençons par le commencement en considérant la fonction du second degré \(f\) définie sur \(\mathbb R \) par $$ f(x) \,= \, ax^2 + bx + c, $$ où \(a,b,c \in \mathbb R\) et \(a \neq 0\). Comme énoncé plus haut, trouver les racines d'un polynôme revient à résoudre l'équation C'est parti ! On va tout d'abbord diviser notre équation par \(a\), ce qui nous amène à On va ensuite soustraire de part et d'autre de l'équation par \(-c / a \) pour obtenir Sur la même lancée, on va ajouter \((b/(2a))^2\) à chacun des deux membres de l'équation, pour enfin avoir $$ x^2 + \frac{bx}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \,\, = \,\,-\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2. $$ Prenons un temps pour observer ce que nous venons d'obtenir. Y a - t - il quelque chose qui vous saute aux yeux ? Eh bien, vous remarquerez que le membre de gauche de l'expression précédente est une identité remarquable du type $$ (a+b)^2 \,\, = \,\, a^2 + 2ab + b^2. $$ Il vient effectivement que Ensuite, il est possible de remarquer que l'on peut reformuler le membre de droite comme suit. Posons maintenant \(\Delta \, = \, b^2 - 4ac\), qui notons - le, se trouve être notre fameux discriminant. Pour récapituler, et faire le point sur ce que l'on a pu obtenir, on est tout bonnement passer de $$ x^2 + \frac{bx}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \,\, = \,\,-\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2, $$ à la simplification $$ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 \,\, = \,\, \frac{\Delta}{4a^2}. $$ Il ne nous reste qu'à faire une résolution « basique » d'équation. Il vient en effet que $$ \begin{array}{l l} & \displaystyle{ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 \,\, = \,\, \frac{\Delta}{4a^2} } \\[5pt] \Leftrightarrow & \displaystyle{ \sqrt{\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2} \,\, = \,\, \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} } \\[5pt] \Leftrightarrow & \displaystyle{ x + \frac{b}{2a} \,\, = \,\, \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{4a^2}} } \\[5pt] \Leftrightarrow & \displaystyle{ x + \frac{b}{2a} \,\, = \,\, \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} } \\[5pt] \Leftrightarrow & \displaystyle{ x + \frac{b}{2a} - \frac{b}{2a} \,\, = \,\, - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} } \\[5pt] \Leftrightarrow & \displaystyle{ x \,\, = \,\, \frac{- b \pm\sqrt{\Delta}}{2a}. } \end{array} $$ On peut finalement distinguées deux cas. Supposons que \(\Delta\) soit strictement positif, les solutions possibles sont par conséquent données par Si l'on suppose maintenant que \(\Delta\) est égal à zéro, on a une unique solution possible $$ x_0 \,\, = \,\, \frac{- b \pm\sqrt{0}}{2a} \,\, = \,\, - \frac{b}{2a} $$ Pour finir, il est bon de noter que si \(\Delta\) est négatif, la fonction \(f\) n'admet aucune solution réelle puisque sur \(\mathbb R\), il n'est pas possible de calculer la racine carrée d'un nombre négatif. Et voilà ! On a finit. On vient de dériver les racines d'une fonction du second degré. Plutôt cool, non ?

Et maintenant, faisons place à quelques exemples ! Afin d'illustrer la petite partie théorique ci-dessus, on va montrer une résolution d'équation du second degré selon le signe du discriminant \(\Delta\).

Il est possible d'écrire une fonction du second degré sous plusieurs formes. Plus haut, on a par exemple eu l'occasion de rencontrer sa forme développée $$ f(x) \,\, = \,\, ax^2+bx+c. $$ Dans cette section, on va s'intéresser à la forme factorisée d'une fonction du second degré. En effet, maintenant que l'on sait comment déterminer les racines d'un trinôme du second degré, on peut, à l'aide de celles - ci déterminer la factorisation d'une telle fonction bien plus facilement.

Appliquons dès lors la théorie ci - dessus, en factorisant chacune des fonctions vues dans la partie Résolution d'équation du second degré.

Maintenant qu'on a eu l'honneur de rencontrer les formes développée et factorisée d'une fonction du second degré, on ne va quand même pas s'arrêter en si bon chemin ? Dans cette section, on va pouvoir approcher sa forme canonique. Cette forme sera très utile lorsqu'il faudra, par exemple, déterminer le sommet de notre chère parabole.

C'est bien beau tout ça, mais comment obtient - on cette fameuse forme canonique ? Eh bien, c'est plutôt simple en réalité. Tout d'abbord, on considère, comme à chaque fois, la fonction $$ f(x) \,\, = \,\, ax^2 + bx + c. $$ Étant donné que le réel \(a\) est non nul, on va faire la petite manipulation suivante $$ f(x) \,\, = \,\, a\left( x^2 + \frac{b}{a}\,x\right) + c. $$ Très bien ! L'étape qui suit est de loin la plus compliquée dans la détermination de la forme canonique. Commençons par nous concentrer deux petites secondes sur le terme $$ \left( x - \alpha \right)^2 \,\, = \,\, \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2, $$ qui se trouve être une identité remarquable. Développons la, et voyons ce que l'on peut en tirer Génial ! Maintenant, on peut, assez facilement, remarquer qu'en comparant l'identité remarquable précédemment developpée avec l'expression $$ f(x) \,\, = \,\, a\left( x^2 + \frac{b}{a}\,x\right) + c, $$ il nous manque seulement le terme $$ \frac{b^2}{4a^2}. $$ Qu'à cela ne tienne ! On va l'y intégrer comme suit $$ f(x) \,\, = \,\, a\left( x^2 + \frac{b}{a}\,x + \underset{ = \,\, 0}{\underbrace{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}}}\right) + c.$$ En effet, comme annoté dans l'expression ci - dessus, c'est égal à zéro, donc c'est un peu comme si on n'avait pas fait grand chose... Alors que c'est tout le contraire ! On a en fait fini le plus gros du travail, le reste ne va être que de la reformulation pour obtenir ce que l'on souhaite. $$ \begin{array}{l} \displaystyle{ a\left( x^2 + \frac{b}{a}\,x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}\right) + c } \\[10pt] \, = \,\, \displaystyle{ a\left( x^2 + \frac{b}{a}\,x + \frac{b^2}{4a^2} \right) - a\,\frac{b^2}{4a^2}+ c }\\[10pt] \, = \,\, \displaystyle{ a \underset{\mathrm{Id. \, rem.\,vu\,plus\,haut}}{\underbrace{\left( x^2 + 2\,\frac{b}{2a}\,x + \frac{b^2}{4a^2} \right)}} - \frac{b^2}{4a}+ c }\\[10pt] \, = \,\, \displaystyle{ a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a}+ \frac{4ac}{4a} } \\[10pt] \, = \,\, \displaystyle{ a \left( x - \left( - \frac{b}{2a}\right) \right)^2 + \frac{-b^2 + 4ac}{4a} }\\[10pt] \, = \,\, \displaystyle{ a \left( x - \underset{=\,\,\alpha}{\underbrace{\left( - \frac{b}{2a}\right)}} \right)^2 +\underset{=\,\,\beta}{\underbrace{ \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}}} }\\[10pt] \, = \,\, \displaystyle{ a \left( x - \alpha \right)^2 + \beta }\\[10pt] \end{array} $$ Et voilà ! On vient de montrer comment dériver la fome canonique d'une fonction du second degré.

Montrons ici comment déterminer la forme canonique d'une fonction donnée. Notons que le signe du discriminant \(\Delta\) n'a pas une grande importance pour la détermination de la forme canonique. Considérons par exemple la fonction $$ f(x) \,\, = \,\, 2x^2-5x+3. $$ On sait dans un premier temps que Ainsi, la forme canonique de la fonction \(f\) s'écrira $$ f(x) \,\, = \,\, a \left( x - \alpha \right)^2 + \beta, $$ où Par conséquent, la forme canonique de la fonction \(f\) est donnée par $$ \begin{array}{l l l} f(x) & = & a \left( x - \alpha \right)^2 + \beta \\[10pt] & = & \displaystyle{ 2 \left( x - \frac{5}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{8} \right) } \\[10pt] & = & \displaystyle{ 2 \left( x - \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{1}{8} }. \end{array} $$ On sait maintenant déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré.

On s'est permis, dans l'introduction, de parler de l'orientation des branches d'une parabole en spécifiant que cela dépendait du signe de \(a\), et qu'on en dirait un peu plus un peu plus tard. C'est le moment ! On est arrivé à ce « un peu plus tard », et on va pouvoir en découvrir un peu plus en étudiant notamment les possibles tableaux de variations d'une fonction du second degré.

Commençons par nous concentrer sur le sommet d'une parabole, que l'on notera \(S\). Ce sommet représente le point où la courbe atteint un maximum ou un minimum. Vous souvenez - vous de la fameuse forme canonique ? Il est temps de la placer sous le feu des projecteurs. En effet, rappelons que la forme canonique est donnée par $$ f(x) \,\, = \,\, a(x-\alpha)^2 + \beta,$$ où Les réels \(\alpha\) et \(\beta\) représenteront les coordonnées du sommet de la parabole.

Selon le signe du réel \(a\), le sommet représentera un minimum ou un maximum. En effet, si \(a > 0\), le sommet de la fonction \(f\) sera un minimum, et si \(a < 0\), le sommet de la fonction \(f\) sera un maximum. Cependant, il est bon de noter que de passer par la forme canonique pour déterminer le sommet d' une fonction du second degré, n'est pas la seule solution. En effet, considérons la fonction $$ f(x) \,\, = \,\, ax^2 + bx + c$$ où \(a,b,c \in \mathbb R\) et \(a\neq 0\), on pourrait dans un premier temps calculer la dérivée de la fonction \(f\), qui serait donnée par $$ f'(x) \,\, = \,\, 2ax + b. $$ Ensuite, une méthode pour déterminer l'abscisse d'un minimum ou d'un maximum d'une fonction est de résoudre l'équation $$ f'(\alpha) \,\, = \,\, 0 $$ Ici, on obtiendrait Et voilà ! On vient de trouver l'abscisse du sommet de la fonction \(f\). Pour finalement déterminer l'ordonnée, il faut faire le petit calul suivant $$ \beta \,\, = \,\, f(\alpha) $$ Voyons voir ce que cela nous donne. $$ \begin{array}{l l l} \beta & = & \displaystyle{ f(\alpha) } \\[10pt] & = & \displaystyle{ a \left( -\frac{b}{2a} \right)^2 + b \left( -\frac{b}{2a} \right) + c } \\[10pt] & = & \displaystyle{ a \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) - b \, \frac{b}{2a} + c } \\[10pt] & = & \displaystyle{ \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c } \\[10pt] & = & \displaystyle{ \frac{b^2}{4a} - \frac{2 b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} } \\[10pt] & = & \displaystyle{ \frac{-b^2 + 4ac}{4a} \,\, = \,\, -\frac{b^2 - 4ac}{4a}. } \end{array} $$ C'est fini ! On vient de déterminer l'ordonnée du sommet de la fonction \(f\). Notons que la méthode ci-dessus peut être utiliser pour déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) de la forme canonique.
Génial ! Maintenant que l'on sait déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole, on va pouvoir passer aux variations d'une fonction du second degré.

Maintenant que l'on a emmagasiné pas mal de théorie, il est temps de clarifier certains points avec quelques exemples selon le signe de du réel \(a\).

On souhaite déterminer la forme canonique et le tableau de variation d'une fonction donnée lorsque le signe du réel \(a\) est positif. Considérons donc par exemple la fonction $$ f(x) \,\, = \,\, 4x^2 -8 x + 1, $$ et déterminons dans un premier temps sa forme canonique. Commençons par remarquer que Rappelons nous que la forme canonique de la fonction \(f\) sera donnée par $$ f(x) \,\, = \,\, a\left( x - \alpha \right)^2 + \beta, $$ où Ainsi, si l'on procède étape par étape, le réel \(\alpha\) aura, dans notre cas, la valeur suivante et le réel \(\beta\) aura la valeur suivante Ainsi, la forme canonique de la fonction \(f\) sera donnée par Très bien ! Maintenant que l'on a la forme canonique de la fonction \(f\), on a, par la même occasion, les coordonées du sommet de la parabole, avec notamment l'abscisse donné par \(\alpha = 1\), et l'ordonnée donnée par \(\beta = -3\). Aussi, puisque le réel \(a=4\) est positif, la fonction \(f\) sera décroissante sur \(\,]\infty \, ; \, 1\,]\,\) et croissante sur \(\,[\,1 \, ; \, \infty\,[\). La fonction \(f\) admettra finalement le tableau de variation suivant.

On souhaite déterminer la forme canonique et le tableau de variation d'une fonction donnée lorsque le signe du réel \(a\) est négatif. Considérons donc par exemple la fonction $$ f(x) \,\, = \,\, -3x^2 + 12 x -14, $$ et déterminons dans un premier temps sa forme canonique. Commençons par remarquer que Rappelons nous que la forme canonique de la fonction \(f\) sera donnée par $$ f(x) \,\, = \,\, a\left( x - \alpha \right)^2 + \beta, $$ où Ainsi, si l'on procède étape par étape, le réel \(\alpha\) aura, dans notre cas, la valeur suivante et le réel \(\beta\) aura la valeur suivante Ainsi, la forme canonique de la fonction \(f\) sera donnée par Super ! Maintenant que l'on a la forme canonique de la fonction \(f\), on a, par la même occasion, les coordonées du sommet de la parabole, avec notamment l'abscisse donné par \(\alpha = -2\), et l'ordonnée donnée par \(\beta = -2\). Aussi, puisque le réel \(a=-3\) est négatif, la fonction \(f\) sera croissante sur \(\,]-\infty \, ; \, -2\,]\,\) et décroissante sur \(\,[\,-2 \, ; \, +\infty\,[\). La fonction \(f\) admettra finalement le tableau de variation suivant.

On va clôturer cet article en abordant la mise en place des tableaux de signes. Ils vont nous permettre dans un premier temps de déterminer le signe d'une fonction du second degré. Déterminer le signe, c'est déterminer le moment où la courbe d'une fonction se trouve au - dessus, ou en dessous de l'axe des abscisses. Ainsi, pour donner un tant soit peu plus de détails, lorsque le signe sera positif, la fonction sera au - dessus de l'axe des abscisses, et lorsque le signe sera négatif, la courbe se situera en dessous de l'axe des abscisses.

Considérons dès lors la fonction du second degré \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par $$ f(x) \,\, = \,\, ax^2 + bx + c$$ où \(a,b,c \in \mathbb R\) et \(a\neq 0\). Nous distinguerons trois cas selon le signe du discriminant \(\Delta\). Commençons par énoncer le cas où le discriminant \(\Delta\) est positif. Notons avant toute chose que la fonction \(f\) admet deux solutions réelles, notées \(x_1\) et \(x_2\).

Pour obtenir les tableaux de signes précédemment énoncés, une technique est de considérer la forme factorisée de la fonction donnée. Ici, on a que le discriminant \(\Delta > 0\), et que la fonction \(f\) admet par conséquent la factorisation suivante $$ f(x) \,\, = \,\, a(x-x_1)(x-x_2). $$ En supposant que le réel \(a\) est positif, on va construire le tableau de signe de la fonction \(f\) comme suit. En supposant maintenant que le réel \(a\) est négatif, le tableau de signe de la fonction \(f\) pourra être construit comme suit.

Maintenant que l'on connaît la marche à suivre pour construire les tableaux de signes d'une fonction du second degré lorsque \(\Delta\) est positif, on va pouvoir s'attaquer au cas où \(\Delta\) est égal à zéro en suivant la même méthodologie. Rappelons nous que lorsque le discriminant est nul, la fonction \(f\) admet une unique solution réelle, notée \(x_0\).

Comme on a eu l'occasion de le voir plus haut, pour obtenir les tableaux de signes précédemment énoncés, une technique est de considérer la forme factorisée de la fonction donnée. Ici, on a que le discriminant \(\Delta = 0\), et que la fonction \(f\) admet par conséquent la factorisation suivante $$ f(x) \,\, = \,\, a(x-x_0)^2. $$ Commençons par noter qu'un carrée est toujours positif, on a que \( (x-x_0)^2 \) est toujours positif. En supposant dès lors que le réel \(a\) est positif, on va construire le tableau de signe de la fonction \(f\) comme suit. En supposant maintenant que le réel \(a\) est négatif, le tableau de signe de la fonction \(f\) pourra être construit comme suit.

Il ne nous reste finalement que le cas où \(\Delta\) est négatif. À noter que lorsque le discriminant est négatif, la fonction \(f\) n'admet aucune racine réelle.

Contrairement à ce que l'on a vu plus haut, lorsque le discriminant est négatif, la fonction \(f\) n'admet aucune factorisation possible sur \(\mathbb R\), et par conséquent sont tableau de signe dépendra uniquement du signe du réel \(a\). Commençons par supposer que le réel \(a\) est positif, on va construire le tableau de signe de la fonction \(f\) comme suit. En supposant maintenant que le réel \(a\) est négatif, le tableau de signe de la fonction \(f\) pourra être construit comme suit.